Analiza portfelowa. Bezpieczne inwestycje. Gra na gie�dzie

Analiza portfelowa
Dziedziny zbli�one
Warte polecenia
Reklamy

Teoria Markowitza w praktyce

Marek Wierzbicki

Gra na Giełdzie, kwiecień 1996

Teoria Markowitza próbuje przełożyć zachowanie i reakcje inwestorów na model matematyczny. W czasie procesu konstruowania modelu przyjmowane są różne założenia, które powinny być przestrzegane przez jego użytkowników. Ponieważ założenia te wynikają wyłącznie z czysto matematycznych ograniczeń, inwestorzy giełdowi często zapominają o ich przestrzeganiu, narażając się na podejmowanie błędnych decyzji. Skutkuje to oskarżaniem całej analizy portfelowej o nieskuteczność, mimo iż przyczyny leżą gdzie indziej.

U podstaw modelu Markowitza leżało założenie, że dotychczasowe zachowanie akcji umożliwia wyznaczenie charakterystyki ich modeli, która będą stałe w przyszłości. Oczekiwana stopa zwrotu jest przybliżona z użyciem średniej dotychczasowych zmian, która określa długoterminowy trend zmian. Ryzyko to najbardziej prawdopodobny zakres wahań, którego wielkość można szacować na podstawie historycznego odchylenia standardowego od średniej. Trzeci używany parametr (korelacja) jest również rzutowany z historii w przyszłość.

Horyzont czasowy

Pierwszym najważniejszym pytaniem, jakie zadaje sobie każdy inwestor, jest pytanie o długość horyzontu czasowego. Jaki okres notowań należy wziąć pod uwagę, aby jak najlepiej przybliżyć przyszłość z użyciem przeszłości. Pierwszym ograniczeniem jest przewidywany czas inwestycji. Jeśli zamierzamy skonstruować portfel i wyjechać na dwa miesiące na wakacje nie wolno brać pod uwagę zachowania tylko z ostatnich dwóch tygodni. Podobnie jeśli zamierzamy zainwestować na tydzień nierozważne będzie branie pod uwagę okresu dwuletniego. Generalna zasada jest taka, że horyzont powinien być dłuższy od okresu inwestycji. Doświadczenia zachodnie oraz moje własne wykazują, że horyzont powinien być od 2 do 20 razy dłuższy niż okres inwestycji. W warunkach polskich, które charakteryzują się większą zmiennością dobre efekty osiąga się stosując mnożnik o wartościach od 3 do 5. Niski mnożnik wydaje się być paradoksem w sytuacji dużych wahań kursów. Łatwo wytłumaczyć jednak tą pozorną anomalię - gdyby przyjąć bardzo długi horyzont dla krótkiej planowanej inwestycji mogłoby okazać się, że trafimy na lokalną średnioterminową zmianę trendu, która będzie miał charakter odmienny od zachowania długoterminowego. Podobnie niekorzystne jest skracanie horyzontu - można doprowadzić do sytuacji, że nie wychwycimy rzeczywistego charakteru trendu.

Horyzont optymalny

Określony wcześniej przedział długości horyzontu jest dość duży i zostawia sporo swobody decyzji. Intuicyjnie czujemy, że w dozwolonym przedziale znajdują się lepsze i gorsze wartości. Który wybrać, żeby decyzja skutkowała jak najlepszymi efektami. Istnieje kilka koncepcji wyboru długości horyzontu czasowego, z których każda ma swoje logiczne uzasadnienie. Najpopularniejsza z nich to taka, która mówi, że powinno brać się pod uwagę horyzont, który w przeszłości dawał najlepsze rezultaty w spełnianiu się prognoz. Wadą tej teorii jest to, że dobrze sprawdza się na stabilnych rynkach. W Polsce, gdzie zdarzyć się mogą trzy debiuty w jednym tygodniu a przepisy podatkowe mogą zostać zmienione w trakcie ich obowiązywania, warunki są zbyt szybko zmienne, aby wierzyć w stabilność raz wyliczonych horyzontów. Inna metoda, często stosowana przez inwestorów bazujących głównie na analizie technicznej, dla których analiza portfelowa jest wyłącznie metodą pomocniczą, to uwzględnianie pojedynczych faz zachowania rynku. Jeśli więc uznajemy, że jesteśmy w trendzie horyzontalnym bierzemy pod uwagę notowania od pierszego dnia rozpoczęcia się tego trendu. Powinno to dać nam gwarancję, że wyłapiemy zachowania akcji charakterystyczne dla tego trendu. Na bazie tej metody proponuję wraz z Krzysztofem Mnichem matematyczny dobór najlepszego horyzontu czasowego. Sposób ten polega na badaniu błędu estymacji średniej zmiany cen dla wszystkich akceptowanych horyzontów czasowych. Do własnej inwestycji należy wziąć pod uwagę ten horyzont, który daje najniższy błąd. Wybierając horyzont optymalny powinno uwzględnić się wszystkie akcje notowane na giełdzie, potencjalnie wchodzące w skład naszej inwestycji. Można jednak uprościć sobie sprawę analizując zachowanie powszechnie używanego indeksu. W miarę wydłużania się horyzontu błąd wyznaczenia jego średniej początkowo maleje. Po osiągnięciu minimum, które występuje dla horyzontu optymalnego, następuje wzrost - oznacza to, że na wyznaczane parametry zaczynają wpływać tendencje długookresowe, zakłócając lokalne zależności. W teorii wartość ta w zależności od horyzontu powinna kształtować się w sposób pokazany na rysunku 1. Inwestorzy powinni wybierać horyzont z okolic minimum, oczywiście pod warunkiem, że mieści się on we wcześniej określonym przedziale.

Rysunek 1 Teoretyczny wygląd funkcji błędu wyznaczenia średniej indeksu giełdowego

optymalny horyzont w analizie portfelowej

Ograniczenia horyzontu

Wyobraźmy sobie, że po dokładnym określeniu celów inwestycyjnych oraz analizie zachowania rynku zdecydowaliśmy, że najlepszym dla nas horyzontem jest na przykład 47 sesji. Jednocześnie pamiętamy, że na rynku jest już notowane ponad 70 walorów. Czy istnieje związek między liczbą walorów a długością horyzontu? Niestety tak. Niestety, gdyż długość horyzontu nie powinna być mniejsza niż liczba analizowanych walorów. Dla 70 akcji minimalny horyzont powinien więc wynieść 77 sesji (sugeruję dodanie 10% na wszelki wypadek i na warunki brzegowe). Skąd bierze się związek liczby akcji z horyzontem? Problem wynika ze sposobu konstrukcji macierzy korelacji - jeśli do jej wyznaczenia użyjemy mniejszej niż jej wymiar liczby przykładów okaże się, że macierz ta będzie macierzą osobliwą. Cóż mnie to obchodzi - powie zapewne niejeden inwestor. Z osobliwości macierzy wynika, że niektóre jej wiersze i kolumny są kobinacją liniową pozostałych wierszy i kolumn. W praktyce można to przełożyć na sytuację, w której zachowania niektórych akcji można w 100% wyznaczyć z przebiegów innych akcji. Dla inwestora byłaby to wspaniała okazja do niezwykłych zarobków, gdyby nie fakt, że taka zależność wynika wyłącznie z nieprzestrzegania założeń teoretycznych przyjętych przy konstruowaniu modelu. Absurd przyjmuje swoje apogeum w przypadku, gdy na rynku można realizować krótką sprzedaż (na razie w Polsce niedostępna). Tak więc stosując zbyt krótki horyzont czasowy zamiast znajdować portfel minimalnego ryzyka (w którym problem uwidacznia się najsilniej) znajdujemy zależności między kolumnami lub wierszami nieosobliwej macierzy korelacji. Oczywiści patrząc na przeszłość tak wyznaczony portfel miał najmniejsze odchylenie standardowe od średniej (a w przypadku krótkiej sprzedaży jego przebieg był linią prostą). Niestety zachowanie historyczne w tym przypadku w żaden sposób nie pozwala oszacować zachowania w przyszłości. Na problem zależności horyzontu i liczby akcji jako pierwsi uwagę zwrócili Connor i Korajczyk. Nie jest on zbyt silnie nagłaśniany na zachodzie, ponieważ dużo popularniejszy jest tam model indeksowy Sharpe'a, w którym problem osobliwości macierzy korelacji nie występuje. Problem horyzontu można próbować ominąć obniżając liczbę analizowanych akcji. Możemy więc odrzucić akcje słabsze fundamentalnie bądź technicznie i z tak okrojonego grona konstruować portfel. Skrajne ograniczanie liczby akcji doprowadzi nas do sytuacji w której analizować będziemy wyłącznie te akcje, które wejdą w ostateczności do portfela. Decydując się na wybór horyzontu czasowego nie możemy skrócić go poniżej liczby akcji w poszukiwanym portfelu efektywnym. Według mnie granicą, poniżej której nie powinno się zejść jest liczba akcji w portfelu minimalnego ryzyka plus dwa (jeden na warunek brzegowy i jeden na zapewnienie nieosobliwości macierzy). Do podobnego wniosku można dojść analizując oryginalny algorytm wyznaczania krzywej portfeli efektywnych Markowitza, w którym wymagana jest możliwość odwrócenia macierzy korelacji o wymiarze równym liczba akcji w portfelu plus 1. Należy jednak wiedzieć, że ograniczenie liczby analizowanych akcji może być zwodniczym sukcesem. Należy bowiem pamiętać, że jeśli z macierzy o wymiarze N*N o rzędzie K (K<N) wytniemy podmacierz o wymiarze L*L (L<K) to nie mamy gwarancji, że rząd tej macierzy wyniesie L. Jeśli jednak koniecznie musimy stosować horyzont o liczbie sesji mniejszej niż liczba akcji notowanych na giełdzie, wtedy musimy przyjąć następującą kolejność działania:

  1. Wyznaczamy portfel minimalnego ryzyka. Jeśli liczba akcji w tym portfelu jest większa niż horyzont, należy zmienić metodę na inną (np. na Sharpe'a), bądź zmienić preferencje inwestycyjne.
  2. Odrzucamy tyle akcji, aby pozostało ich mniej niż długość horyzontu czasowego. Sugeruję, aby odrzucić przynajmniej jedną akcję ze znajdujących się w portfelu minimalnego ryzyka, najlepiej nie tą o najmniejszym udziale. Zapewniamy sobie przynajmniej iluzoryczne wrażenie, że pozbywamy się jednego z komponentów liniowej zależności wierszy lub kolumn.
  3. Ponownie konstruujemy portfel minimalnego ryzyka z ograniczonego zestawu akcji. Sprawdzamy, czy nowa wielkość portfela nie powiększyła się powyżej horyzontu. Jeśli tak wrazamy do pkt. 2.
  4. Konstruujemy wybrany przez nas portfel.

Innym sposobem usuwania osobliwości może być zerowanie w macierzy korelacji tych elementów, których wartości statystycznie nie różnią się od zera. Dodatkowym problemem staje się wtedy poziom ufności estymacji korelacji. Trudno mi ocenić efektywność tego zabiegu, gdyż nie zajmowałem się tym problemem i nie spotkałem się z literaturą na ten temat.

Inne problemy w modelu Markowitza

Celem mojego dzisiejszego artykułu nie jest zniechęcanie potencjalnych inwestorów do używania teorii Markowitza. Mimo to zwrócę uwagę na kolejne sprawy, które negatywnie wpływają na faktyczną efektywność modelu stosowanego w praktyce. Przypomnę, że przyszłe zachowanie akcji może być oszacowane na podstawie dotychczasowego przebiegu kursu. Zysk, ryzyko i korelacja - parametry te wyznaczamy w przeszłości i zakładamy, że w przyszłości będą miały taką samą, a przynajmniej zbliżoną wartość. Założenie to bywa spełnione w różnym stopniu, w zależności od wielu czynników. Weźmy pod uwagę stopę zwrotu - zakładamy, że będzie ona oscylować wokół wartości dotychczasowej. Założenie to jest spełnione wyłącznie wtedy, gdy walor będzie kontynuował swój trend długoterminowy. W przeciwnym przypadku należy powiększyć poziom ryzyka o potencjalną zmianę trendu. W związku z tym, że nie wiemy, która akcja i kiedy zmieni trend ryzyko historyczne powinniśmy powiększyć we wszystkich przypadkach. Pojawia się przy tym dylemat, czy powiększać ryzyko wszystkich akcji jednakowo czy proporcjonalnie do ryzyka. A może założyć, że ekstremalne trendy obarczone są większym niebezpieczeństwem jego zmiany niż trendy horyzontalne? Wszystkie te wątpliwości powodują, że faktyczne ryzyko prognozy stopy zwrotu jest większe niż ryzyko modelowe. Jeszcze więcej kłopotu przynosi korelacja. Markowitz założył, że przyszła korelacja będzie równa korelacji historycznej. W praktyce korelacja również podlega zmianom, które nie są w żaden sposób uwzględniane. Warto przy tym nadmienić, że korelacja jest bardziej zmienna niż Beta używana w modelu indeksowym. Problem zmian korelacji występuje we wszystkich modelach korelacyjnych, których sztandarowym przedstawicielem jest model Markowitza.

Zmiany parametrów uznawanych za stałe wpływają w praktyce na mniejszą wiarygodność prognoz zachowania portfeli uzyskanych z użyciem teorii Markowitza. Doświadczenia przeprowadzane przeze mnie na polskiej giełdzie wykazują przy tym, że niższe ryzyko portfela tym większa może być nieokreślona niepewność parametrów. Skutkuje to zjawiskiem, które spróbuję zobrazować na rysunku 2, zawierającym przykładową mapę ryzyko-zysk. Portfele z krzywej portfeli efektywnych (krzywa pogrubiona) migrują szbciej do wnętrza całej mapy niż portfele podoptymalne (krzywa przerywana). Tak więc wybór paraoptymalnego (w sensie historycznym) portfela może skutkować efektami lepszymi niż wybór portfela optymalnego. Na uwypuklenie tego zjawiska wpływa stosowanie zbyt krótkiego horyzontu, co powoduje pozorne przesuwanie krzywej portfeli efektywnych w kierunku mniejszego ryzyka (krzywa kropkowana).

Rysunek 2 Migracja portfeli teoretycznych w realnej inwestycji

migracja portfeli markowitza w grze na giełdzie

Czy zatem należy zrezygnować całkowicie z modelu Markowitza? Wyciąganie takich wniosków byłoby zbyt daleko idącą konsekwencją nieścisłości i błędów praktycznych wymienionych w tym artykule. Aby podnieść efektywność portfeli w modelach korelacyjnych stosuje się teorie bazujące na większej liczbie parametrów (skośność, spłaszczenie itd). Innym sposobem jest wyznaczanie parametrów akcji z użyciem analizy technicznej i fundamentalnej a następnie konstruowanie portfeli z użyciem tych parametrów. Pewnym problemem jest przy tym całkowita niemierzalność ryzyka (jak określić ryzyko prognozy doradcy X) oraz odejście od powtarzalności sytuacji. Mimo takich unowocześnień coraz silniej skłaniam się do tezy, że przyszłość analizy portfelowej związana jest z modelami indeksowymi. Na przekonanie o świetlanej przyszłości tego typu modeli wpływa zarówno większa dokładność ich parametrów jak i łatwiejsza interpretacja ekonomiczna teorii. Ponadto w modelach indeksowych łatwiej zastosować zależności stricte nieliniowe, które są bardziej charakterystyczne dla naturalnych procesów. Od przyszłego numeru Gry na Giełdzie rozpocznę wprowadzanie czytelników w tą problematykę zaczynając od ojca teorii indeksowej - Williama Sharpe'a.

MWi © 2007-2012