Analiza portfelowa. Bezpieczne inwestycje. Gra na gie�dzie

Analiza portfelowa
Dziedziny zbli�one
Warte polecenia
Reklamy

Chaos na polskiej giełdzie

Marek Wierzbicki

W Parkiecie z 26 sierpnia wprowadziłem czytelników w Hipotezę Rynku Fraktalnego bazującą na teorii chaosu. Hipoteza ta sugeruje, że akcje zachowują się w sposób chaotyczny. Jej podstawą są jednak jedynie tezy bazujące na opisowej analizie rozprzestrzeniania się informacji i sposobie zachowania większości inwestorów. Warto byłoby sprawdzić czy chaos, jako oczekiwany efekt tej teorii, da się zaobserwować w polskich warunkach.

Główną cechą charakteryzującą zachowania chaotyczne jest nadmierna wrażliwość układu na warunki początkowe. Spróbuję przedstawić znaczenie problemu na przykładzie podobnym do tego, który odkrył Lorenz w latach pięćdziesiątych. Przypomnę, że zajmował się on badaniem problemów długoterminowego prognozowania pogody z wykorzystaniem symulacji komputerowych. Zwrócił on uwagę na fakt, że symulacje bazujące na niemal identycznych danych wejściowych (dane o temperaturze, ciśnieniu, wietrze i opadach zaokrąglone do czterech cyfr znaczących i niezaokrąglone) dawały zupełnie różne prognozy długoterminowe, mimo tego, że w krótkim okresie czasu były niemal jednakowe. Spróbuję powtórzyć to doświadczenie, jednak w realiach giełdowych. Przyjmijmy, że udało nam się ustalić, że zależność jutrzejszej zmiany ceny od dzisiejszej wynika z układu równań opisujących ruch chaotyczny (jest to zmodyfikowane przeze mnie odwzorowanie Czyrikowa):

xt+1:=xt+vt
vt+1:=vt+4.7*Cos(xt)+0.1*Cos(10*xt)

gdzie:
xt+1 - wyznaczona z układu przyszła (jutrzejsza) zmiana ceny
xt - dzisiejsza zmiana ceny
vt, vt+1 - zmienne pomocnicze (odpowiednio bieżące i przyszłe)

na tej podstawie jutrzejsza cena może być wyznaczona z równania:

JutrzejszaCena:=DzisiejszaCena*(1+ xt+1)

przy czym xt+1 zostało przekształcone do zakresu stosowanego na polskiej giełdzie czyli plus-minus 10 procent.

Oczywiście nie jest to prawda, ale proszę popatrzeć na przebieg szeregu czasowego (rysunek 1, górna część) powstałego w ten sposób. Może do złudzenia nie przypomina przebiegu giełdowego, ale dużo mu nie brakuje. Warto pamiętać, że jest to jednak tylko bardzo prosty opis zjawiska deterministycznego. Lorenz przewidywał, że prognozę kształtuje przynajmniej 12 układów równań. Z giełdą najprawdopodobniej jest podobnie, przy czym dodatkowo podlega ona zachowaniom niedeterministycznym, czyli nie dającym się opisać za pomocą równań. A teraz środkowa część. Zupełnie inny wygląd. A powstał przy użyciu dokładnie tego samego wzoru. I przy niemal tych samych parametrach startowych. Gdyby przełożyć różnicę wartości początkowej na cenę akcji, wtedy okazałoby się że wynosi on jedną dziesiątą grosza przy cenie 100 zł (przypomnę, że poniżej 100 zł ceny na WGPW ustalane są z dokładnością 10 gr, a powyżej 100 zł z dokładnością do 50 gr). Różnica jest więc znacznie mniejsza niż dokładność ustalenia ceny.

Rysunek 1 Symulowane przebiegi giełdowe wygenerowane przy użyciu zmodyfikowanego odwzorowania Czyrikowa

wykresy giełdowe

Czy to możliwe, że niemal te same wartości startowe dały aż tak różne przebiegi wynikowe? Otóż tak. Aby w pełni uzmysłowić jak to się stało prezentuję w tabeli 1 kilkanaście początkowych wartości przyrostów zarówno górnego, środkowego jak i dolnego szeregu czasowego (o dolnym napiszę dalej). Podobnie jak w przypadku wykresu kolejne wartości numerowane są z użyciem dat notowań. Aby zmniejszyć wielkość tabeli usunąłem z niej nieznaczące fragmenty zastępując je pustymi miejscami. Trzecia kolumna odpowiada środkowemu wykresowi na rysunku 1 i uznałem ją jako wzorcową - wszystkie porównania dokonywane są właśnie w stosunku do niej.

Tabela 1 Zestawienie symulowanych zmian cen wygenerowanych przy użyciu zmodyfikowanego odwzorowania Czyrikowa. Wytłuszczono cyfry zgodne ze trzecią kolumną (wzorcową).

Data notowaniaZmiana rys. górny Zmiana rys. środk.Zmiana rys. dolny
9901040.000000000.000014320.00001432
9901056.875493546.875506436.87550643
9901064.560809204.560898864.56089886
9901075.713630155.714086125.71408612
9901087.149900097.153196427.15319642
9901116.228979706.238989816.23898981
9901122.838736522.873576372.87357637
9901134.853056625.066677785.06667778
......
990126-2.84964200-0.70317143-0.70317143
990127-2.956029044.956869894.95686988
9901281.36238526-1.41200468-1.41200473
990129-0.58323621-0.75706726-0.75706707
......
9902081.133900304.633272074.63327144
990209-2.90063449-0.91450992-0.91451242
990210-0.77780393-2.74264408-2.74263993
990211-0.65390559-2.41798159-2.41799010
990212-2.53205883-0.41115422-0.41113003
9902151.651564604.889410964.88939334
990216-1.22454994-1.49006875-1.49013530
990217-2.54954147-1.85517990-1.85497661
9902182.40142814-3.41708537-3.41736105
9902191.054012251.036689361.03641983
9902222.21172657-1.57085763-1.57136165
990223-2.071876894.364036054.36543044
990224-2.03445046-2.54982805-2.54390860
9902252.608175332.912589372.90085224
9902261.96629653-0.57825046-0.66687766
990301-4.47335716-0.29876114-0.19270152

Dopiero teraz widać, jak rodziła się odmienność przebiegów. Początkowo przyrosty cen były niemal identyczne. Każda kolejna wartość rozbiegała się jednak coraz bardziej. Siódma pozycja drugiej kolumny była zgodna z trzecią kolumną jeszcze z dokładnością do trzech pierwszych cyfr znaczących. Jednak już ósma jest całkowicie inna - doszło więc do sytuacji, że kolejne wartości liczone na podstawie dwóch nieznacznie różniących się wartości początkowych nie mają ze sobą nic wspólnego. I to jest właśnie cecha chaotyczna układu deterministycznego - długoterminowe zachowanie zależy od nieznacznych różnic w warunkach początkowych. Oczywiście nie wpływa to na możliwość tworzenia prognoz krótkoterminowych, ale tym problemem nie będę się zajmował w dzisiejszym artykule.

Innym problemem ujawniającym się w układach chaotycznych jest wrażliwość na dokładność obliczeń. Na rysunku 1 dwa górne wykresy powstały przy wykorzystaniu obliczeń bazujących na liczbach tak zwanej podwójnej precyzji (liczby te posiadają 15 do 16 cyfr znaczących). Wykres dolny powstał przy użyciu obliczeń bazujących na liczbach rozszerzonej precyzji (19-20 cyfr znaczących) z parametrami dokładnie takimi jak wykres środkowy. A przebieg jest inny. To jest kolejna cecha układu chaotycznego - znamy dokładny wzór opisujący zjawisko oraz wartości początkowe, a ze względu na dostępną dokładność obliczeń nie możemy w dłuższym okresie przewidywać jego zachowania. Warto zwrócić uwagę na czwartą kolumnę w tabeli 1. Również tam początkowe wartości są niemal identycznych jak w trzeciej-wzorcowej kolumnie. Jakkolwiek zgodność trwała dłużej, ale też ostatecznie (po 45 sesjach) przyrosty całkowicie się rozbiegły.

Analiza tabeli 1 pokazuje jak trudne jest modelowanie zjawisk (w szczególności prognozowanie cen na giełdzie) przy użyciu teorii chaosu. Im szybciej rozbiegają się kolejne wartości prognoz, w zależności od nieznacznych różnic w wartościach początkowych czy dokładności obliczeń, tym bardziej chaotyczne jest zjawisko. Jeśli w ruchu jest mniej chaosu, kolejne wartości są podobne do siebie przez dłuższy czas. Miernikiem chaosu, oraz sposobem na wykrywanie go jest więc powtarzanie doświadczeń z nieznacznie różniącymi się warunkami początkowymi i sprawdzanie wyników - czy i jak bardzo się różnią. Miarą bazującą na szybkości powstawania różnic w zjawisku, która umożliwia nam syntetyczną ocenę czy dany przebieg jest chaotyczny i w jak wielkim stopniu są wykładniki Lapunowa, a konkretnie największy wykładnik. Nie wdając się w szczegóły techniczne, spróbuję przybliżyć znaczenie tego parametru. Dodatnia wartość największego wykładnika oznacza, że układ jest chaotyczny, czyli powtórzenie doświadczenia w bardzo podobnych warunkach doprowadzi do całkiem różnych efektów. Im większa jest wartość największego wykładnika tym szybciej rozbiega się analizowane zjawisko. Określenie "wykładnik" wynika z natury zjawiska, to znaczy wykładniczego zwiększania się odległości między dwoma analizowanymi, początkowo sąsiednimi punktami. Przykładowo dla układu o wykładniku około 0.693 dwa punkty odległe o jedną jednostkę będą w kolejnych iteracjach odległe o 1, 2, 4, 8, 16, 32,.... itd. Dla wykładnika około 1.099 kolejne odległości to 1, 3 , 9, 27, 81, 243,... Jak widać większy wykładnik skutkuje większą szybkością oddalania się. Przykładowo dla wykładnika około -0.693 kolejne odległości to 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,.... Dla ujemnego wykładnika odległości między punktami maleją.

Wykładniki Lapunowa umożliwiają ocenę zjawiska chaotycznego w tak zwanej przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa to inny sposób obrazowania wielowymiarowych zjawisk dynamicznych. W zwykłym przebiegu czasowym oś pozioma wykresu obrazuje upływający czas (w przypadku giełdy kolejne sesje), natomiast oś pionowa odpowiada za stan zjawiska w danej chwili (na giełdzie są to ceny akcji). W przestrzeni fazowej możemy ocenić wszystkie możliwe stany systemu, w każdej chwili czasowej. Każda z osi reprezentuje wpływ pojedynczej zmiennej na stan układu. Gdyby założyć, że jutrzejsza zmiana ceny zależy wyłącznie od dzisiejszej zmiany, przestrzeń fazowa miałaby tylko 2 wymiary: zmiana ceny w dniu k (oś K) oraz w dniu k-1 (oś L). Wykres umożliwiający odczytanie dzisiejszego stanu układu i ocenę jego przyszłych wartości mógłby mieć na przykład wygląd przedstawiony na rysunku 2 (ze względów poglądowych wykres ten nie reprezentuje zachowania opisanego równaniem przedstawionym na początku artykułu). Ósemki, które możecie tam Państwo zobaczyć to fragment trajektorii. Trajektoria to obraz wszystkich możliwych stanów, które przyjmuje układ w kolejnych chwilach czasu. Jeśli trajektoria jest zamkniętą krzywą, wtedy przebieg jest cykliczny, to znaczy układ (na przykład cena akcji na giełdzie) wróci kiedyś do takiej samej wartości i rozpocznie się dokładnie taki sam przebieg jaki kiedyś już wystąpił. Jeśli trajektoria nie jest zamknięta (tak jak w moim przykładzie) mimo lokalnego podobieństwa przyszłe wartości mogą być zupełnie różne. Opisywane rozbieganie jest zaznaczone w postaci odcinków krzywej a-A oraz b-B. Jak widać, mimo tego, że punkty a i b są bardzo blisko siebie wartości po pewnym czasie (A i B) są już oddalone. Wykładniki Lapunowa opisują nam jak szybko poszczególne punkty oddalają się od siebie (ewentualnie zbliżają). Dla każdego wymiaru występuje osobny wykładnik. Może się bowiem zdarzyć, że oddalanie następuje wyłącznie wzdłuż niektórych wymiarów. Tak na przykład dzieje się w zaprezentowanej na rysunku 2 hipotetycznej trajektorii. Po pewnym czasie punkty oddaliły się od siebie wzdłuż osi reprezentującej zmienną K, natomiast wzdłuż osi L leżą dalej blisko siebie. Wystarczy, że punkty rozbiegają się tylko wzdłuż jednej osi. Wtedy wykładnik Lapunowa dla tego wymiaru jest dodatni. Dla drugiego wymiaru może on być równy zero (punkty nie oddalają się od siebie) lub nawet ujemny (bez względu na początkową odległość w tym wymiarze zbliżają się do siebie). Jako że oddalanie następuje znacznie szybciej niż zbliżanie się, jeden dodatni wykładnik Lapunowa odpowiedzialny za oddalanie się powoduje zwiększanie się globalnej odległości, nawet jesli we wszystkich pozostałych wymiarach zjawisko charakteryzuje się ujemnymi wykładnikami.

Rysunek 2 Przykładowy wygląd niecyklicznej trajektorii w przestrzeni fazowej

wykresy giełdowe

Jeśli mamy do czynienia ze zjawiskiem deterministycznym (określonym wzorem matematycznym) lub badamy układ fizyczny, w którym możemy wielokrotnie powtarzać to samo doświadczenie w niemal identycznych warunkach, sprawa jest dość prosta. Istnieją niezbyt skomplikowane algorytmy, które umożliwiają wyznaczenie wszystkich wykładników Lapunowa w sposób analityczny bądź doświadczalny. Badanie giełdy jest jednak znacznie trudniejsze, albowiem nie jest to miejsce, w którym można powtórzyć dwa razy to samo doświadczenie w dokładnie takich samych warunkach. 9 sierpnia 2000 roku cena spółki IGROUP wynosiła 7.70 po 10 procentowym wzroście. Nigdy nie dowiemy się jaka byłaby dzisiejsza cena tej spółki, gdyby wtedy cena wyniosła 7.65 po wzroście 9.3 procenta. W takich sytuacjach trzeba korzystać z przybliżonych algorytmów szacujących największy wykładnik Lapunowa. Najczęściej bazują one na analizie rozwoju podobnych sytuacji (różniących się jak najmniej, jednak różnice występują we wszystkich zmiennych początkowych, a nie jak to się modelowo zakłada tylko w jednej). Jeden z takich algorytmów został zaproponowany przez czterech autorów w 1985 roku i znany jest jako algorytm Wolfa, gdyż to on napisał program komputerowy (w języku FORTRAN) korzystający z tego algorytmu. W tym miejscu muszę z żalem zwrócić uwagę, że translacja tego programu na język BASIC zaprezentowana przez Edgara Petersa w książce "Teoria Chaosu, a rynki kapitałowe" zawiera tyle błędów, że nie nadaje się do wykorzystania (moje uwagi dotyczą wyłącznie, niepotrzebnego zresztą, przekładu programu z FORTRANU na BASIC, a nie samej książki, która jest rewelacyjna!).

Korzystając z algorytmu Wolfa wyznaczyłem przybliżone wartości największych wykładników Lapunowa dla polskich akcji notowanych na giełdzie (do 19 września 2000) dłużej niż 1400 sesji. Warto wspomnieć, że wartości te są bardzo dużymi przybliżeniami. Wynika to z kilku faktów. Aby otrzymać w miarę wiarygodne wyniki potrzebna jest bardzo duża liczba danych doświadczalnych. Według doświadczeń Petersa dla większości indeksów i akcji różnych giełd, aby badania były wiarygodne potrzeba przynajmniej 10000 notowań. Liczba potrzebnych notowań wynika z wymiaru fraktalnego przebiegów giełdowych oraz oczekiwanej dokładności wyliczeń. Wymiary fraktalne polskich akcji nie odbiegają znacząco od zachodnich. Jednak najdłużej notowana polska spółka nie ma nawet historii 2000 dni (kolumna 2 prezentuje liczbę uwzględnianą sesji). Ilość danych nie jest więc wystarczająca. Ponadto wyniki mocno zależą od ustawień kilku parametrów algorytmu Wolfa. Starałem się je dobrać w taki sposób, aby analiza znanych mi odwzorowań o zbliżonych cechach, w podobnych warunkach generowała wyniki jak najbliższe wyznaczonym innymi metodami.

Tabela 2 Zestawienie największych wykładników Lapunowa najdłużej notowanych spółek

SpółkaLiczba sesjiWykładnik
AGROS14710.36
AMERBANK15360.34
BIG18060.32
BPH14010.27
BRE17910.35
BSK16050.36
BYTOM14240.28
DEBICA14520.25
DROSED14740.33
EFEKT16680.25
ELEKTRIM18440.34
ESPEBEPE14840.30
EXBUD19030.36
FORTISPL14640.30
INDYKPOL14800.26
IRENA18600.25
JELFA15380.26
KABLE19030.31
KABLEHOLD14810.25
KRAKCHEM15230.30
KREDYTB15250.23
KROSNO19030.36
MOSTALEXP18270.37
MOSTALWAR16470.30
MOSTALZAB14850.26
NOVITA14360.25
OKOCIM18560.24
OPTIMUS15210.24
POLIFARBC17120.30
PROCHEM15390.25
PROCHNIK19030.28
RAFAKO15880.30
REMAK14530.33
ROLIMPEX14760.28
SOKOLOW16750.31
STALEXP14700.36
SWARZEDZ18940.38
TONSIL19030.28
VISTULA16530.28
WBK16960.30
WOLCZANKA18910.34
ZYWIEC18810.30
Źródło: Obliczenia własne

Otrzymane wyniki są zgodne z oczekiwaniami, to znaczy największe wykładniki Lapunowa akcji są dodatnie. Oznacza to, że ceny akcji, w szczególności polskich, zachowują się w sposób chaotyczny. Na tej podstawie można wnioskować, że Hipoteza Rynku Fraktalnego, bazująca na niesformalizowanych tezach, ma potwierdzenie w zachowaniu cen akcji. Gdyby hipoteza ta była prawdziwa we wszystkich swoich szczegółach okazałoby się, że inwestycje długoterminowe, bazujące na przesłankach zewnętrznych w stosunku do samych cen (np. bazujące na analizie fundamentalnej) mają szansę na pozytywne wyniki. Należy jednak pamiętać, że prognozowanie długoterminowe wyłącznie na podstawie wcześniejszych zmian nie jest możliwe, ze względu na podstawową cechę chaosu, jaką jest nadmierna wrażliwość na warunki początkowe. Nie wyklucza to możliwości zarabiania w krótkim terminie. Co więcej, w świetle reguł chaosu, im szybsze reakcje inwestorów, tym większe są szanse na zyskowne inwestycje. Jest to w zgodzie z ogólnym przekonaniem większości inwestorów, pozostaje natomiast w jawnej sprzeczności z Hipotezą Rynku Efektywnego, która to sugeruje, że aktywne inwestycje nie mogą być lepsze od inwestycji pasywnej. W praktyce może się jednak okazać, że poziom szumu dla bardzo krótkich, na przykład jednosesyjnych okresów inwestycyjnych w systemie analizującym wyłącznie ceny zamknięcia jest tak wysoki, że utrudnia rekonstrukcję zjawiska i obniża zdolności prognostyczne w horyzoncie jednodniowym. Na podstawie tych spostrzeżeń można oczekiwać, że prognozy bazujące na dotychczasowych cenach akcji (np. analiza techniczna) będą miały najlepszą trafność jeśli będą dotyczyły od 3 do 5 sesji naprzód.

Poznajemy zjawisko chaosu coraz lepiej. Wiemy już, że można zarabiać na akcjach. No to do roboty - szukajmy najlepszych recept.

MWi © 2007-2012