Analiza portfelowa. Bezpieczne inwestycje. Gra na giełdzie

Portfel rynkowy Sharpe'a

Konstruowanie portfeli inwestycyjnych ⁽⁴⁾

Marek Wierzbicki

Parkiet, styczeń 1995

Przez kilkanaście lat od opublikowaniu teorii Markowitza dotyczącej wyboru portfeli optymalnych trwały wśród teoretyków rozważania, czy zaproponowany przez niego model jest jedynym możliwym. Głównym nurtem prac było poszukiwanie metody konstruowania portfeli, która dawałaby równie dobre efekty jak model Markowitza, przy prostszym i szybszym sposobie konstruowania portfeli. Rok 1963 przyniósł znaczący przełom w postaci jenoindeksowego modelu giełdy opracowanego przez Williama Sharpe'a. Zyskał on sobie dużą popularność dzięki swojej prostocie nie wpływającej w znaczący sposób na efektywność wyników.

Po pierwszej fascynacji teorią Markowitza pojawiły się problemy z praktycznym jej zastosowaniem. W przypadku analizowania skonstruowanych portfeli składających się z kilku walorów wyznaczenie ich parametrów jest jeszcze dość prostą operacją. Kiedy jednak weźmiemy pod uwagę giełdę, na której notowane jest tylko 50 akcji okaże się, że zachowanie tych akcji opisane jest z wykorzystaniem 1325 parametrów (50 stóp zwrotu, 50 wartości ryzyka i 1225 par korelacji zachowań). Dla giełdy na której notowane jest 1000 akcji (a na Wall Street jest ich jeszcze więcej) ich zachowanie opisane jest za pomocą ponad 500000 parametrów. Nietrudno się domyślić, że taka liczba informacji może doprowadzić do bólu głowy nawet najsilniejszy komputer.

Teoretycy rozpoczęli więc poszukiwania modeli dających zadowalające rezultaty przy zmniejszeniu ilości informacji potrzebnej do praktycznego zastosowania w grze na giełdzie. Najczęściej stosowanym uproszczeniem jest jednoindeksowy model zachowania akcji na giełdzie zaproponowany przez Sharpe'a. Podstawy jego teorii wynikały z praktycznych doświadczeń, które wykazywały że zachowanie poszczególnych akcji może być wytłumaczone z użyciem jednego syntetycznego czynnika opisującego zachowanie całej giełdy. Sharpe zauważył, że większość akcji zmienia swoją wartość zgodnie z zachowaniem całej giełdy. Jeśli więc cała giełda spada większość akcji również spada. W przypadku wzrostu większość akcji rośnie. Przełomowym wydarzeniem było zwrócenie uwagi na fakt, że akcje które tracą na wartości szybciej niż indeks giełdowy (który opisuje w pewien sposób zachowanie giełdy) zyskują szybciej na wartości niż ten indeks. Podobnie akcje spadające wolniej niż indeks rosną wolniej od niego. Od tego momentu było już bardzo blisko do wyznaczenia matematycznego opisu zachowania akcji w zależności od zmian indeksu giełdowego.

Model Sharpe'a uzależnia stopę zwrotu od trzech składniow: stałego (nazwanego alfa), zmiennego - proporcjonalnego do zmian indeksu giełdowego (współczynnik proporcjonalności nazwany został beta) oraz składnika losowego o zmianach nie dających wytłumaczyć się zmianami na giełdzie. Składnik stały wyjaśnia w praktyce długookresowy trend zmian wartości. Jeśli więc cena akcji wzrosła w okresie, w którym indeks giełdowy pozostawał w trendzie poziomym zachowanie to tłumaczone jest właśnie przez parametr alfa. Współczynnik proporcjonalności opisuje zmiany wartości akcji następujące zgodnie ze zmianami wartości indeksu giełdowego. Parametr beta opisuje przy tym siłę zależnośći zachodzących między zmianami indeksu a opisywanym walorem. Jeśli beta wynosi 0.8 oznacza to, że zmianie indeksu o 1% odpowiada zmiana wartości akcji o 0.8% (przy założeniu, że alfa jest równa zero). Oczywiście zależność ta obowiązuje zarówno w przypadku wzrostu jak i spadku indeksu giełdowego. Ostatni składnik opisu (losowy) wprowadzony został w celu wyjaśnienia ruchów akcji niezgodnych z zachowaniem giełdy. Równanie opisujące akcję w zależności od całej giełdy powinno być skonstruowane w taki sposób, aby wpływ składnika losowego był jak najmniejszy.

Najważniejszy w modelu Sharpe'a jest współczynnik beta opisujący zachowanie akcji (ewentualnie portfela) w zależności od zachowania całego rynku. W przypadku gdy spodziewamy się hossy należy inwestować w akcje posiadające wysokie współczynniki beta. Pozwoli to nam na przyrost naszych kapitałów szybszy od przyrostu giełdy. Jeśli obawiamy się bessy (jednak jej prawdopodobieństwo nie jest zbyt wysokie) powinniśmy inwestować w papiery o niskiej becie. W przypadku wzrostu na giełdzie da to nam niezbyt szybki wzrost naszych kapitałów zabezpieczy nas jednak w przypadku załamania notowań. Oczywiście kiedy spodziewamy się, że bessa nadjdzie na pewno zamiast akcji powinniśmy inwestować w obligacje.

Takie działanie zostało przez Sharpe'a uznane za racjonalne. W swoich rozważaniach przyjął on, że każdy inwestor będzie się zachowywał rozważnie i będzie uwzględniał istnienie obligacji jako ewentualne ubezpieczenie przed stratami. Założył też przy tym, że stopa zwrotu akcji rekompensuje ryzyko ponoszone w czasie inwestowania na giełdzie. Biorąc pod uwagę sytuację idealną (to znaczy taką, że zachowanie akcji da się wytłumaczyć bez udziału składnika losowego) najniższe możliwe ryzyko pojedynczego waloru można wyznaczyć jako iloczyn ryzyka całęj giełdy i parametru beta. W związku z tym, że ryzyko całej giełdy jest jednakowe dla wszystkich akcji łatwo się domyślić, że dla Sharpe'a miernikiem ryzyka stała się wartość współczynnika beta danej akcji. Tak więc akcje o wysokiej becie powinny charakteryzować się wyższą stopą zwrotu, aby były równie atrakcyjne jak walory bardziej stabilne. Najlepsze (najefektywniejsze) byłyby więc akcje o wysokiej stopie zwrotu i niskiej becie.

Po ustaleniu preferencji, które powinny być uwzględniane w czasie wyboru akcji Sharpe rozpoczął doświadczenia, które miały wyznaczyć ile najlepszych akcji powinno wejść do portfela. Dodawanie akcji do portfela tłumaczone jest w modelu jednoindeksowym koniecznością obniżania wpływu składnika losowego na zachowanie całego portfela. Należało więc dodawć akcje do portfela tak długo, aby zyski z dywersyfikacji były wyższe od strat wynikający z umieszczania w portfelu akcji niefektywnych. Cykl doświadczeń i obliczeń teoretycznych doprowadził Sharpe'a do niezbyt skomplikowanego algorytmu iteracyjnego wyznaczającego portfel rynkowy. Jak zapewne czytelnicy pamiętają z mojego poprzedniego artykułu (PARKIET 10.01.95) portfel rynkowy jest jedynym optymalnym dla inwestorów uwzględniających lokaty pozbawione ryzyka. W związku z tym, że Sharpe uznawał, że każdy inwestor musi brać pod uwagę istnienie stopy zwrotu wolnej od ryzyka naturalne było uznanie portfela rynkowego za portfel najlepszy dla wszystkich inwestorów.

Porównam teraz dla Czytelników dwa portfele rynkowe wyznaczone według modelu Markowitza i Sharpe'a. Do porównania wybrałem modele utworzone dla zmian pięciosesyjnych przy horyzoncie czasowym 48 sesji. Dla Czytelników, którzy nie uwzględniają obligacji i przekonałem ich do uniwersalności portfela krytycznego ryzyka przedstawiam też i ten portfel. Składy jakościowe i ilościowe tych portfeli podane są w tabeli:

----------------------------------------------------------
|P.rynkowy Sharpe'a|P.rynk.Markowitza |Portfel krytyczny |
----------------------------------------------------------
|Firma      |Udział|Firma      |Udział|Firma      |Udział|
----------------------------------------------------------
|AGROS      |42.1 %|AGROS      |41.9 %|AGROS      |45.2 %|
|MOSTALEXP  |47.0 %|ESPEBEPE   | 0.4 %|ELEKTRIM   |13.4 %|
|OKOCIM     | 5.2 %|MOSTALEXP  |47.2 %|MOSTALEXP  |40.4 %|
|RAFAKO     | 5.7 %|OKOCIM     | 1.0 %|WEDEL      | 1.0 %|
|           |      |RAFAKO     | 9.5 %|           |      |
----------------------------------------------------------
|Zysk         1.37%|Zysk         1.47%|Zysk         1.10%|
|Ryzyko       4.39%|Ryzyko       4.83%|Ryzyko       3.66%|
|Beta         0.43 |Beta         0.51 |Beta         0.32 |
|Prawd.straty 39.2%|Prawd.straty 39.5%|Prawd.straty 39.7%|
----------------------------------------------------------
|Źródło: program KAPITAŁ PRO 2.0                         |
----------------------------------------------------------

Jak widać skład portfela rynkowego Sharpe'a i Markowitza jest bardzo podobny. Ponad 90% kapitału można zainwestować dokładnie w te same akcje. Już jednak takie parametry jak zysk i ryzyko są dla obu portfeli różne. Znaczącą różnicę widać jenak przy ocenie bety portfela. Portfel Markowitza ma betę prawie 20% większą od portfela Sharpe'a. Potwierdzenie tego można zobaczyć zarówno w wyższej oczekiwanej stopie zwrotu jak i wyższym ryzyku. Najważniejsze według mnie jest jednak to, że składy portfeli wyznaczone z wykorzystaniem dwóch różnych modeli potwierdzają się nawzajem. Można stąd wyciągnąć wniosek, że oba modele (jakkolwiek posługują się różnymi kryteriami i algorytmami) wychwyciły te same cechy charakterystyczne wszystkich akcji notowanych na giełdzie. W związku z tym można spodziewać się, że zaproponowane przez program portfele spełnią (oczywiście w odpowiednio długiej perspektywie) składane w nich oczekiwania. W przypadku, gdy portfele różniłyby się w sposób znaczący może to sugerować, że trudno jest jednoznacznie określić zachowanie akcji. Taki przypadek jest dodatkowym, niemierzalnym wskaźnikiem wysokiego ryzyka inwestowania. Oczywiście jak w każdym przypadku wysokie ryzyko nie musi oznaczać gwałtownych spadków - może sugerować duży, niespodziewany wzrost.

Porównując portfele warto też zwrócić uwagę na parametr beta. Z trzech zaprezentowanych portfeli o zbliżonym prawdopodobieństwie straty najniższą betą charakteryzuje się portfel krytyczny. Oznacza to, że mimo iż prawdopodobieństwo spadku jest jednakowe ten portfel będzie spadał najwolniej. Warto więc do oceny własnych portfeli wprowadzić i ten parametr.