Analiza portfelowa. Bezpieczne inwestycje. Gra na giełdzie

Portfele bezpieczne

Konstruowanie portfeli inwestycyjnych ⁽¹⁰⁾

Marek Wierzbicki

Parkiet, marzec 1995

Wszystkie opisywane dotychczas portfele inwestycyjne zakładały, że celem inwestora jest pomnażanie kapitału, a dobór akcji w portfelu służy jedynie obniżeniu ryzyka inwestowania. Nawet portele minimalnego ryzyka, które umożliwiały maksymalne podniesienie trafności prognozy, oceniane były pod kontem zysku, który mogą przynieść. Istnieje jednak spora grupa inwestorów, w tym fundusze powiernicze i emerytalne, dla których głównym celem jest utrzymanie wartości zainwestowanych na stałym poziomie (nominalnym lub realnym). Każdy przyrost traktują oni jak zyski nadzwyczajne, których starają się już nie utracić. Strategia taka umożliwia wyłapywanie nawet niewielkich przyrostów i zabezpieczanie się przed spadkami po tych przyrostach. Dla tak myślących inwestorów stworzona została grupa kryteriów nazywana po angielsku safety first (czyli najpierw bezpieczeństwo), która umożliwia tworzenie portfeli maksymalnie zabezpieczonych przed spadkiem ich wartości.

W PARKIECIE z 6.1.95 opisałem portfel minimalnego ryzyka jako inwestycję charakteryzującą się największą trafnością prognozy. Wytłumaczyłem przy tym znaczenie prawdopodobieństwa straty. Przypomnę, że jest to prawdopodobieństwo, iż stopa zwrotu portfela będzie mniejsza od zera. Możemy na podstawie tego parametru ocenić szansę, że nie stracimy inwestując w wybrany portfel. Rozwinięcie tego parametru do kryterium wyboru portfela określane jest jako

Kryterium Roya

U podstaw tego kryterium leżało poszukiwanie portfela, dla którego prawdopodobieństwo straty jest najniższe. Takie podejście rozgraniczało portfele na posiadające dodatnie i ujemne stopy zwrotu. Portfele z dodatnimi stopami zwrotu są pożądane, a portfele o ujemnej stopie zwrotu nie. Rozgraniczenie takie było jednak słuszne tylko w teorii, kiedy przyjmuje się brak inflacji, idealną płynność rynku oraz brak podatków, prowizji i innych kosztów inwestowania na rynku (prowadzenie rachunków, zdobywanie informacji czy analizę kursów akcji). W praktyce występuje wiele czynników, które powodują, że portfele o zerowym zysku nominalnym realnie przynoszą straty. Roy rozwinął więc to kryterium do postaci, w której najlepszym portfelem jest taki, w którym prawdopodobieństwo wystąpienia stopy zwrotu niższej od akceptowanego przez inwestora progu bezpieczeństwa jest jak najmniejsze. Jeśli rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu portfela jest normalny kryterium to można uprościć do postaci maksymalizowania odległości między stopą zwrotu akceptowaną przez inwestora, a średnią stopą zwrotu portfela. Odległość tą mierzy się w jednostkach równych odchyleniu standardowemu portfela. W przypadku, gdy rozkład stopy zwrotu nie spełnia warunków normalności, do szacowania składu portfela można zastosować nierówność Czebyszewa, która zachodzi dla dowolnej całkowalnej funkcji opisującej rozkład.

Zastanówmy się teraz, gdzie na krzywej portfeli efektywnych może znaleźć się portfel bezpieczny Roya, w zależności od przyjętego poziomu akceptowanej stopy zwrotu. Przyjmijmy przy tym, że rozkład stopy zwrotu spełnia warunki normalności - możemy więc stosować uproszczoną metodę wyznaczania tego portfela. Graficznie możemy tą metodę zobrazować poprzez poszukiwanie stycznej do krzywej portfeli efektywnych przechodzącej przez punkt określający minimalny poziom zysku wymagany przez inwestora. Jeśli poziom ten będzie równy stopie zwrotu z walorów pozbawionych ryzyka portfel bezpieczny Roya będzie równoważny portfelowi rynkowemu. Dla stopy zwrotu równej zero otrzymany portfel będzie portfelem minimalnej zmienności (optymalnym - maksymalny stosunek zysku do ryzyka). Na rysunku przedstawione są trzy przykładowe portfele dla wymaganej stopy zwrotu niższej od zera (P1), równej zeru (P2) i większej od zera (P3).

Rysunek 1 Portfel bezpieczny Roya na mapie ryzyko-zysk

Analizując możliwe położenia portfeli można zauważyć, że każdy portfel na górnej części krzywej portfeli efektywnych może być portfelem bezpiecznym Roya. W miarę obniżania ryzyka i zysku portfele z tej krzywej mogą być akceptowane tylko pod warunkiem znacznego obniżania progu bezpieczeństwa. Portfel minimalnego ryzyka byłby portfelem Roya jedynie w przypadku akceptacji nieskończenie wielkiego spadku wartości. Tak więc możemy przyjąć (biorąc pod uwagę niechęć inwestorów do ponoszenia strat), że portfele konstruowane na bazie kryterium Roya są portfelami agresywnymi.

Pod artykułem zaprezentowane są 3 przykładowe portfele przy różnych progach bezpieczeństwa. Skonstruowane są one po sesji 22.03.95 przy horyzoncie czasowym 48 sesji i perspektywie 5 sesji. Warto zauważyć, że podnoszenie progu bezpieczeństwa nie zawsze skutkuje obniżaniem faktycznego prawdopodobieństwa straty - podniesienie progu z 0% do 1.45% skutkuje nieznacznym, ale jednak podniesieniem prawdopodobieństwa straty.

Kryterium Kataoki

Kryterium to operuje tymi samymi pojęciami co kryterium Roya, przy odwrotnej ważności decyzji. W kryterium tym zakładamy, że zgadzamy się na niekorzystne zachowanie naszej inwestycji, pod warunkiem, że próg bezpieczeństwa (a w tym wypadku raczej próg zagrożenia) bedzie maksymalnie przesunięty w górę. W czasie konstruowania portfela zakładamy akceptowane prawdopodobieństwo wystąpienia niekorzystnego rezultatu (poziom zagrożenia). Dla portfeli o normalnym rozkładzie stopy zwrotu kryterium to może zostać uproszczone do postaci maksymalizowania funkcji:

f(R_P, s_P) = R_P - C*s_P

gdzie
C jest stałą zależną od poziomu zagrożenia (nie jest to prawdopodobieństwo wystąpienia niekorzystnego rezultatu).

W praktyce maksimum to ma wartość skończoną. W teorii zakładającej możliwość nieograniczonej pożyczki może zdarzyć się, że maksimum to będzie nieskończone. Podobnie jak w przypadku kryterium Roya portfele, które nie spełniają warunków normalności rozkładu należy szacować z wykorzystaniem nierówności Czebyszewa.

Kryterium Telsera

Kryterium to idzie najdalej w kierunku bezpieczeństwa i jednoczesnego podnoszenia zysku portfela. Telser założył, że inwestorowi powinno zależeć na maksymalizowaniu oczekiwnej stopy zwrotu portfela (jest to jedno z pierwszych kryteriów inwestowania wprowadzone jeszcze przed teorią Markowitza). Aby jednak nie utracić zalet dywersyfikaji (aby nie wybrana została jedna firma o najwyższej prognozowanej stopie zwrotu) wprowadzone zostało pewne ograniczenie. Otóż Telser wymaga, aby prawdopodobieństwo niekorzystnego rezultatu było ustalone. Określenie jaki rezultat jest niekorzystny powinno być również znane przed rozpoczęciem optymalizacji. To znaczy, że inwestor wyznacza w tym przypadku zarówno minimalny próg zagrożenia jak i maksymalny poziom zagrożenia. Po wprowadzeniu takich wstępnych ograniczeń należy znaleźć skład portfela o najwyższej oczekiwanej stopie zwrotu. W związku z zastosowaniem dwóch zazębiających się warunków początkowych może zdarzyć się, że nie udaje się skonstruować portfela opartego o kryterium Telsera. Jako przykładem posłużymy się portfelami zaprezentowanymi pod artykułem. Przy założeniu progu zagrożenia na 0% i poziomu zagrożenia na 25% kryterium to można opisowo przedstawić następująco: należy znaleźć portfel o najwyższej oczekiwanej stopie zwrotu, przy założeniu że prawdopodobieństwo straty nie będzie większe od 25%. Analizując zaprezentowane portfele można zauważyć, że nie istnieje portfel spełniający takie założenia. Gdyby jednak podnieść poziom ryzyka do 50% proces poszukiwania portfela zakończyłby się sukcesem.

Przedstawione w tym artykule sposoby wyboru portfeli kładą największą uwagę na zabezpieczenie się przed spadkami ich wartości. Słusznie więc portfele te nazywa się bezpiecznymi. Pamiętać jednak należy, że (zwłaszcza w opisanych dzisiaj przypadkach) portfel te oferują statystyczne bezpieczeństwo. Oznacza to, że nie możemy dokonywać ocen efektywności naszych działań po tygodniu (najlepiej zrobić nie wcześniej niż po kilku miesiącach).

----------------------------------------------------------
|Portfel bezpieczny|Portfel bezpieczny|Portfel bezpieczny|
|Próg bezp.  -1.45%|Próg bezp.     0 %|Próg bezp.   1.45%|
----------------------------------------------------------
|Firma      |Udział|Firma      |Udział|Firma      |Udział|
----------------------------------------------------------
|AGROS      |12.9 %|BRE        | 1.0 %|KABLE      | 7.0 %|
|MOSTALEXP  |46.8 %|MOSTALEXP  |50.3 %|PPABANK    |10.8 %|
|WEDEL      |17.7 %|OPTIMUS    | 0.1 %|RAFAKO     |79.3 %|
|ŻYWIEC     |22.6 %|POLIFARB C | 4.8 %|UNIVERSAL  | 2.9 %|
|           |      |WEDEL      |18.0 %|           |      |
|           |      |ŻYWIEC     |25.8 %|           |      |
----------------------------------------------------------
|Zysk        -0.66%|Zysk        -0.81%|Zysk         6.68%|
|Ryzyko       3.09%|Ryzyko       3.02%|Ryzyko      16.69%|
|Beta         0.28 |Beta         0.27 |Beta         2.17 |
|Prawd.straty 57.4%|Prawd.straty 59.2%|Prawd.straty 36.3%|
----------------------------------------------------------
|Źródło: program KAPITAŁ PRO 2.1                         |
----------------------------------------------------------