Analiza portfelowa. Bezpieczne inwestycje. Gra na giełdzie

Podstawy modelu Markowitza

Marek Wierzbicki

Gra na Giełdzie, luty 1996

Naturalnym dążeniem człowieka jest unikanie niepotrzebnego ryzyka. Chętnie stosujemy więc rozwiązania obniżające to ryzyko i dające nam większą pewność działania. Zachowanie takie często można zauważyć wśród inwestorów, którzy decydują się na zakup większej liczby różnych akcji, w celu zachowania większego bezpieczeństwa. Próby intuicyjnego wyjaśniania przyczyn rozdrobnienia inwestycji doprowadziły w początku lat pięćdziesiątych do wprowadzenia matematycznego modelu zachowań inwestorów, który dość dobrze wyjaśnia powody łączenia kilku akcji w jeden portfel inwestycyjny.

Historyczne podejście określało inwestora jako człowieka, który w czasie inwestowania kieruje się prostymi dążeniami bazującymi wyłącznie na zysku. Badania doświadczalne Markowitza wykazały, że nie jest to prawdą. Rzeczywisty inwestor bierze pod uwagę nie tylko poziom oczekiwanej stopy zwrotu ale i ryzyko jej osiągnięcia. Uwzględnia więc wiele różnych kryteriów oceny, które zależą nie tylko od przyrostu wartości ale i od samej wartości. Inaczej traktujemy bowiem ryzyko straty 10% kapitału jeśli inwestujemy sto złotych a inaczej jeśli sto tysięcy. Do czynników wpływających na poziom akceptowanego ryzyka oprócz wielkości kapitału należy również czas zamrożenia gotówki oraz płynność inwestycji. Łatwiej akceptujemy wyższy poziom ryzyka, jeśli możemy w każdej chwili wycofać się z inwestycji bez niebezpieczeństwa niepotrzebnej straty. Ponadto na decyzję inwestora wpływają takie trudno mierzalne czynniki jak wiek inwestora, jego płeć, wykształcenie, stan rodzinny, tradycja itp. Ich wpływ ustala się jedynie w przybliżeniu, za pomocą badań statystycznych.

Zysk i ryzyko

Markowitz prowadząc swoje prace teoretyczne próbował sformalizować pojęcie zysku i ryzyka w celu późniejszego zastosowania ich w matematycznym modelu wyjaśniającym zachowanie inwestorów. Pojęcie zysku jest dość naturalne i nie było problemu z zaakceptowaniem oczekiwanej stopy zwrotu jako zysku z inwestycji. Gorzej było z ryzykiem - na jego wyjaśnienie należało wprowadzić miarę matematyczną, która dobrze odzwierciedlałaby zakres niepewności. Po analizach okazało się, że najlepiej do tego celu nadaje się odchylenie standardowe stopy zwrotu od oczekiwań. Oprócz innych zalet, takie podejście dawało pewność, że w przedziale określonym ryzykiem znajdzie się ponad dwie trzecie zmian stopy zwrotu. Po wprowadzeniu matematycznych miar ryzyka i zysku można było sformalizować wpływ zysku i ryzyka na zachowanie pojedynczego inwestora. W tym celu wprowadzono pojęcie funkcji obojętności. Opisuje ona wzór (linię na wykresie) określające inwestycje konkretnego inwestora mające w jego odczuciu jednakowy poziom ryzyka i premii za jego ponoszenie. Oznacza to, że inwestorowi obojętne jest, którą z inwestycji z danej krzywej wybierze, gdyż zwiększenie oczekiwanej stopy zwrotu podniesie atrakcyjność inwestycji dokładnie w takim samym stopniu, jak podwyższenie ryzyka obniży jej atrakcyjność.

Następnym problemem, z którym musiał uporać się Markowitz było praktyczne wyznaczenie stopy zwrotu i ryzyka inwestycji. Oczekiwana stopa zwrotu mogła być przybliżona z użyciem metod analizy fundamentalnej bądź technicznej. Takie podejście, oprócz tego że było bardzo niejednoznaczne, w żaden sposób nie dawało jednak możliwości wyznaczenia ilościowego opisu ryzyka. Za przełomowy moment należy uznać spostrzeżenie, że akcje o dużej amplitudzie zmian w przeszłości charakteryzują się dużymi wahaniami w przyszłości. Podobnie akcje stabilne przez dłuższy okres rzadko gwałtownie zmieniały swoją wartość. Częściowo ma to związek z zauważoną na całym świecie zależnością (również w Polsce), że firmy o wyższej kapitalizacji podlegają mniej gwałtownym zmianom. Drugim założeniem, które wprowadzało więcej uniwersalności i unifikacji, była teza, że dotychczasowe zmiany akcji określają długoterminowy trend zachowania akcji, który będzie kontynuowany w najbliższym czasie. W praktyce okazało się, że teza ta jest dość dobrze spełniona, zwłaszcza dla portfeli składających się z większej liczby akcji. Markowitz założył więc, że oczekiwaną stopę zwrotu można wyliczyć z użyciem średniej dotychczasowych zmian wartości. Wiadomo jednak, że średnia może być obliczana na dwa sposoby - geometrycznie lub arytmetycznie. Średnia arytmetyczna obliczana jest jako iloraz sumy wszystkich przyrostów przez ich ilość:

Wzór 1

gdzie:

• kolejne zmiany, których średnią obliczamy. W naszym przypadku są to stopy zwrotu osiągane w kolejnych okresach inwestycyjnych badanego waloru.

• liczba składników (w naszym przypadku jest to liczba analizowanych okresów).

Sposób ten powinien być stosowany przy założeniu, że każdy okres inwestycyjny zaczynamy z takim samym stanem gotówkowym. Przykładowo, jeśli po pierwszym okresie na skutek wzrostu wartości posiadamy więcej niż na początku, część zysków usuwamy z inwestycji, na przykład na inne konto. W przypadku, kiedy wartość spadła, dodajemy na konto brakującą część gotówki, tak aby każdy okres zaczynany był z tego samego poziomu. Zakładamy przy tym niejawnie, że mamy dostatecznie dużo pieniędzy, aby uzupełniać ewentualne straty oraz nie uwzględniamy ewentualnych zysków osiąganych z nadmiarów gotówki odzyskiwanych z rachunku inwestycyjnego i składowanych na innym koncie. Tak więc ilość akcji którą posiadamy zmienia się z okresu na okres (chyba, że akcja nie zmieniła wartości w jednym z okresów). Takie podejście wymaga stałej aktywności inwestora. Przybliżanie przyszłego zysku za pomocą średniej arytmetycznej jest więc charakterystyczne dla inwestorów częściej wymieniających swój portfel (czyli inwestujących w horyzoncie krótkoterminowym).

Średnia geometryczna obliczana jest jako pierwiastek stopnia n z iloczynu wartości (1+Ri) obliczanej dla wszystkich okresów:

Wzór 2

Użyte oznaczenia mają takie same znaczenie jak w średniej arytmetycznej. Zastosowanie takiego podejścia wymaga, aby badana przez nas inwestycja pozostała stabilna ilościowo przez cały czas jej posiadania (w naszym przykładzie n okresów). Tak więc dowolny wzrost lub spadek wartości nie wymaga od inwestora żadnej reakcji. Takie przybliżenie jest więc bardziej charakterystyczne dla długookresowych inwestorów, którzy nie zamierzają codziennie kontrolować i korygować stanu swojego portfela. Oprócz tego podejście to ma także zaletę, że obniża koszty prowizji maklerskich, które zwłaszcza przy niskich obrotach mogą być bardzo wysokie. Kolejnym parametrem opisującym akcję jest ryzyko. Wyjaśniłem wcześniej powody używania odchylenia standardowego do wyznaczania jego wartości. Pozostało teraz pokazanie praktycznego sposobu wyznaczania ryzyka. Korzystamy w tym celu ze wzoru, znanego ze statystyki:

Wzór 3

gdzie:

• Średnia stopa zwrotu (wyznaczona z użyciem średniej arytmetycznej bądź geometrycznej).
• Kolejne stopy zwrotu w badanym okresie.
• Liczba analizowanych okresów.

Ryzyko portfela

Wiemy już, jakie parametry matematyczne przybliżają zachowanie pojedynczych akcji. Te same wartości, mogą być również wykorzystane do oceny portfela. Możemy przy tym wyznaczyć te parametry w sposób analogiczny do parametrów akcji, czyli badać zachowanie portfela w przeszłości. W praktyce działanie takie byłoby jednak dużym utrudnieniem, które nie jest konieczne. Parametry portfela mogą bowiem być wyznaczone z wykorzystaniem parametrów akcji wchodzących w jego skład. Oczekiwana stopa zwrotu zależy jedynie od oczekiwanego zysku poszczególnych akcji i ich udziału w portfelu:

Wzór 4

gdzie:

• stopa zwrotu portfela
• stopy zwrotu poszczególnych akcji
• udziały akcji w portfelu
• liczba akcji w portfelu

Należy przy tym pamiętać, że suma wszystkich udziałów musi być równa 1 (lub 100%) oraz (przynajmniej w tej chwili, w polskich warunkach) udziały muszą być nieujemne. Trochę trudniejsze jest wyznaczenie ryzyka portfela akcji. Oprócz ryzyka poszczególnych walorów i ich udziałów na całość wpływa korelacja zachowań wszystkich par akcji wchodzących w skład portfela. Korelacja określa liczbowo zależność między lokalnymi wahaniami wokół trendu długoterminowego. Jej znaczenie możemy wyjaśnić z użyciem intuicyjnych przykładów. Wyobraźmy sobie, że analizujemy zachowanie dwóch firm - jedna produkuje kurtki puchowe, druga okulary przeciwsłoneczne. Załóżmy przy tym, że współczynniki fundamentalne opisujące te firmy są zbliżone do siebie. Ponadto zyski generowane przez firmy z roku na rok rosną w podobny sposób i powodują, że ceny akcji znajdują się w rosnącym trendzie długoterminowym o podobnym charakterze. Oczywiste jest jednak, że ceny podlegają lokalnym wahaniom sezonowym - w sezonie letnim zyski firmy produkującej okulary przeciwsłoneczne są dużo większe niż zimą. W firmie produkującej kurtki puchowe jest odwrotnie. Różne okresy osiągania największych zysków skutkują tym, że ceny oscylują wokół długookresowej tendencji niezgodnie ze sobą. Kiedy ceny jednych akcji rosną, inne spadają i odwrotnie. Korelacja umożliwia wyznaczenie ilościowej zależności między dwoma przebiegami cen. Przyjmuje ona wartości z przedziału <-1 ; 1>. W opisywanym przykładzie należy spodziewać się ujemnej korelacji o dość niskiej wartości. Podobnie niską korelacje mają np. firmy produkujące energię i ich konsumenci. Znacznie więcej jest firm o dodatnich korelacjach. Wynika to z faktu, że większość firm zajmuje się różnymi działalnościami oraz w większości w podobny sposób reagują na polepszenie lub pogorszenie ogólnej sytuacji gospodarczej. Korelacja wyznaczana jest ze wzoru:

Wzór 5

Znając korelację można wyznaczyć ryzyko portfela:

Wzór 6

Wartość korelacji w znaczący sposób wpływa na ryzyko portfela. Im niższa korelacja, tym większe zyski z łączenia akcji w portfel. Poniżej przedstawiam na wykresie różne przypadki łączenia dwóch akcji (A i B) w portfel. Kolejne linie przedstawiają wszystkie dostępne portfele przy różnych wartościach korelacji. Idealna korelacja dodatnia (równa 1) nie daje możliwości obniżenia ryzyka. W miarę zmniejszania jej wartości ryzyko maleje poniżej średniej ryzyka obu akcji ważonej udziałami w portfelu. Graniczną wartością jest mniejsza wartość dwóch ilorazów ryzyka. Jeśli korelacja jest mniejsza, ryzyko portfela może być obniżone poniżej ryzyka każdej z akcji. Dalsze obniżanie korelacji umożliwia dalsze obniżanie ryzyka, w teorii nawet do zera (przy korelacji ujemnej -1).

Rysunek 1

Krzywa portfeli efektywnych

Dołączanie do portfela kolejnych akcji może umożliwić dalsze obniżanie ryzyka. Już dla trzech akcji wszystkie możliwe portfele znajdują się na obszarze ograniczonym trzema krzywymi. W miarę wzrostu liczby akcji złożoność obszaru rośnie i tworzy konstrukcję zwaną pociskiem Markowitza. Najważniejszy fragment całego obszaru to krzywa portfeli efektywnych. Reprezentuje ona najlepsze portfele, które powinny być wybierane przez inwestorów. Każdy z portfeli znajdujących się na tej krzywej charakteryzuje się najniższym możliwym do osiągnięcia ryzykiem przy założonym zysku. Jednocześnie każdy taki portfel charakteryzuje się najwyższym zyskiem przy określonym, akceptowanym ryzyku. Inną nazwą stosowaną dla krzywej portfeli efektywnych jest zbiór niezdominowanych punktów Pareto. Jeśli znamy składy portfeli na krzywej portfeli efektywnych to lepiej wybierać właśnie te inwestycje zamiast innych (w tym pojedynczych akcji). Jeśli nie znamy składu żadnego z portfeli efektywnych powinniśmy uwzględniać w naszych inwestycjach akcje znajdujące się najbliżej krzywej efektywnej. Od zalecenia tego jest kilka wyjątków, które przedstawię w jednym z kolejnych artykułów tego cyklu. Obszar dostępnych portfeli często nazywany jest mapą ryzyko-zysk. Przykładowa mapa (dla sześciu akcji), z zaznaczoną pogrubieniem krzywą portfeli efektywnych, znajduje się poniżej.

Rysunek 2

Oprócz powiedzenia,że krzywa portfeli efektywnych prezentuje najlepsze inwestycje, należy dodatkowo uwzględnić miejsce położenia tych inwestycji na krzywej. Portfele znajdujące się w dolnej części to inwestycje zachowawcze, charakteryzujące się niskim ryzykiem, ale i niższą stopą zwrotu. Powinny one być uwzględniane przez fundusze emerytalne lub innych inwestorów, którym bardziej zależy na utrzymaniu realnej wartości kapitałów. Inwestorzy, którym zależy na szybszym zarobku (ale akceptują też większe ryzyko pomyłki w ocenie rynku) powinni brać pod uwagę portfele z górnej części krzywej portfeli efektywnych. Punktem granicznym, rozdzielającym inwestycje zachowawcze od agresywnych jest portfel krytyczny, dla którego przyrost ryzyka jest równy przyrostowi zysku (pochodna zysku po ryzyku jest równa jeden).

W artykule, który Państwo czytają przedstawiłem sposoby oceny walorów obciążonych ryzykiem i metodą łączenia tych walorów w portfele. Model zaproponowany przez Markowitza uwzględnia jednak szersze spektrum problemu. Kilku naukowców dokładało do tej bazy kolejne elementy rozszerzając model na większość przypadków znanych na rynku. O rozszerzeniach modelu Markowitza (między innymi Dyla i Tobina) przeczytacie Państwo w kolejnym artykule już za miesiąc.

Dopisek ze stycznia 2010

Macierz korelacji pomiędzy zachowaniem akcji szacowana jest na podstawie notowań historycznych. Jest ona zaszumionym obrazem rzeczywistej macierzy korealacji. Jednym z prostych sposobów odszumienia, zaproponowanym przez Sharpe'a jest wyznaczenie wartości własnych macierzy, odrzucenie nieznaczących i ponowna rekonstrukacja tej macierzy z tych wartości własnych. W praktyce okazuje-się jednak, że tak odszumiona macierz wcale nie jest bliższa rzeczywistej macierzy korelacji, choć rzeczywiście szybkość pracy z tym modelem jest wyższa. Oznacza to,że macierz tą należałoby konstruować inaczej. Jak? Jeszcze nie wiem, ale na pewno jestem bliżej niż 15 lat temu. I cały czas myślą nad rozwiązaniem tego problemu. Może znajdzie się jakiś inwestor, który będzie chciał zainwestować w badania na ten temat?